Параметрическое оптимальное f

Мы немного познакомились с математикой нормального и логарифмически нормального распределения и теперь посмотрим, как находить оптимальное f по нормально распределенным результатам. Формула Келли является примером параметрического оптимального f, где f является функцией двух параметров. В формуле Келли вводные параметры — это процент выигрышных ставок и отношение выигрыша к проигрышу. Однако формула Келли даст вам оптимальное f только тогда, когда возможные результаты имеют бернуллиево распределение. Другими словами, формула Келли даст правильное оптимальное f, когда есть только два возможных результата, в противном случае, как, например, в нормально распределенных результатах, формула Келли не даст вам правильное оптимальное f2.

Все вышесказанное заставляет по-иному взглянуть на ожидаемую работу любого не полностью механического метода. Даже профессионалы («фундамента-листы», последователи Ганна или Эллиотта и т.п.), использующие такие методы, обречены на неудачу, если они находятся далеко справа от пика кривой f. Если они слишком далеко слева от пика, то получат геометрически более низкие прибыли, чем их опыт и навыки в этой области позволяют. Более того, практики не полностью механических методов должны понимать, что все сказанное об оптимальном f и чисто механических методах будет иметь прямое отношение и к их системам. Это надо учитывать при использовании подобных методов. Помните, что проигрыши могут быть значительными, но это не означает, что метод не следует применять. Четвертое и, возможно, наибольшее преимущество параметрического метода определения оптимального f состоит в том, что параметрический метод позволяет создавать модели «что если». Например, вы решили торговать по рыночной системе, которая работала достаточно успешно, но хотите подготовиться к ситуа- ции, когда эта рыночная система прекратит хорошо работать. Параметрические методы позволяют варьировать ваши вводные параметры для отражения возмож- ных изменений, и благодаря этому показать, когда рыночная система прекратит хорошо работать. Еще раз повторюсь: параметрические методы намного мощнее эмпирических.

Зачем вообще использовать эмпирические методы? Они интуитивно более очевидны, чем параметрические. Следовательно, эмпирические методы необ- ходимо изучать до перехода к параметрическим. Мы уже достаточно подробно рассмотрели эмпирический подход и поэтому готовы изучать параметрические методы.

2 Здесь мы говорим о формулах Келли в единственном числе, хотя, фактически, есть две версии формулы Келли: одна для случая, когда отношение выигрыша к проигрышу составляет 1:1, а другая для случая, когда отношение выигрыша к проигрышу произвольно. В этой главе мы исходим из отношения 1:1, поэтому не имеет значения, какую именно формулу Келли мы используем.

Поиск идеального плеча или что такое оптимальное f (Ральф Винс Математика управления капиталом)

+65 05 февраля 2012, 22:15 Кирилл Лукин

Друзья, привет!

Большинство наверное прекрасно знает, что плечо на фондовом рынке и плечо друга — две разные вещи! И со многими, я уверен, фондовое плечо ни раз играло злую шутку! Не буду оригиналом и скажу, что и я неоднократно становился заложником агрессивных плеч, в следствии которых мне ни раз приходилось нести несоизмеримые потери по счету.

Понимание того, что плечи нужно сокращать пришло естественно не сразу. Переломным моментом, как я уже писал в одном из своих постов, стал просмотр видео с участием Алексея Каленковича (ещё раз отдельное ему за это спасибо).

Кто еще не видел это видео, то вот оно:

В этом видео Алексей рассказывает о его понимании книги Ральфа Винса «Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров».

На мой взгляд, книга достаточно сложна для понимания, по крайней мере, с первого раза. В книге достаточно много разного рода приблуд. Главной же идеей данной книги является поиск так называемого «оптимального f». По нашему — оптимального плеча, при котором достигается максимизация долгосрочной доходности с оптимальным риском.

Теперь о самой книге.

В книге «Математика управления капиталом» Ларри Вилльямс описал метод фиксированной фракции. Фиксированно-фракционный метод основан на том, что в каждой сделке можно рисковать суммой, не превышающей заранее заданного процента от текущего баланса сче­та. По мере роста размера счёта происходит пропорциональное увеличение размера позиции. Применительно к построению торговых систем для разного рода рынков, размер процента риска необходимо привязывать не только к размеру торгуемого лота, но также ещё к значению используемого плеча, уровню стоп-лосса, заданному в системе, а также торгуемому инструменту. Другими словами необходимо учитывать количество потенциально теряемых в сделке пунктов и их стоимость на данном инструменте.

Достоинством фиксировано-фракционного метода является относительная простота и прозрачность, поскольку объем позиции вычисляется пропорционально размеру депозита. Риск остается постоянным на протяжении всей торговли. При этом полученная прибыль автоматически реинвестируется при вычислении размеров лотов последующих сделок.

Главным недостатком фиксировано- фракционного метода является эффект «ассиметричного рычага» . Суть этого эффекта в том, что для компенсации потерь, понесенных в сделке, вам необходимо заработать в пунктах больше, чем вы потеряли. Этот дисбаланс проявляется тем сильнее, чем агрессивнее торговля, чем больше процент риска в каждой сделке. Происходит это потому, что отыгрываться придётся меньшим лотом, тем лотом, который позволит вам оставшийся после убытка депозит. Эффект ассиметричного рычага поясняется следующей таблицей.

Из таблицы следует, что при малых рисках (5…10%) вам необходимо заработать почти столько же (5,3…11,1%), чтобы покрыть убыток. При риске 50% необходимо заработать в 2 раза больше (100%), чтобы выйти на прежний уровень.

Фиксированно-Фракционный метод имеет несколько разновидностей:

Метод оптимальной фракции (оптимальной f).

Оптимальная фракция определяется как фик­сированная фракция, которая дает больший доход, чем любая другая фиксированная доля, применяемая в рамках данной торговой стратегии. Например, для гипотетической торговой системы с шансами 50% выиграть $2, против 50% проиграть $1 в каждой сделке больше всего прибыли можно получить, если прибегнуть к стратегии реинвестиро­вания с оптимальной фракцией (оптимальным риском в каждой сделке), равной 25%. При этом, кривая зависимости полученной в серии сделок прибыли (у Ральфа Винса TWR- Terminal Wealth Relative или «относительный конечный капитал») от процента риска (величины фракции) близка к нормальному распределению.

По мере увеличения фракции конечный результат системы возрастает до определенного уровня. При размере фракции больше и меньше этого уровня прибыль падает. Таким образом, один и тот же результат может быть достигнут системой при различных размерах фракции (точках, находящихся как на левом, так и на правом скатах кривой), т.е. можно иметь ту же результативность, рискуя меньшей частью капитала. Если вы играете мельче, чем оптимальное f, то ваш риск уменьшается в арифметической прогрессии, а прибыль — в геометрической.

На первый взгляд кажется, что ме­тод может привести к феноменальному росту счета при оптимальном соотношении риска и вознаграждения. Однако методу присущ существенный недостаток, заключающийся в том, что расчёт оптимальной фракции производится для серии предыдущих торговых сделок. Этот метод не применим для прогнозирования, он обращен в основном на исследование прошлых данных. Допустим, оптимальная фракция для предыдущих 100 сделок составляла 15%, в последующих 100 сделках эта доля может оказаться равной 9%. Если для предыдущих 100 сделок оптимальной была доля 15% и вы решили провести 100 следующих сделок с той же фракцией, то этот процент может оказаться непомерно большим и привести к существенным убыткам.

Метод безопасной фракции (безопасной f).

Появление метода обусловлено большими значениями просадок, присущими методу оптимальной фракции. Допустим, оптимальная фракция для заданной торговой системы составляет 25%, однако дродаун системы с таким риском на исторических данных достигает 80%. Такие просадки выдержать психологически нелегко, особенно при игре крупными суммами. В отличие от метода оптимальной фракции в данном методе расчёт фракции производится исходя из максимального проседания счёта. Работа по методу безопасной фракции менее рискованна, чем при использовании оптимальной фракции, но и прибыль в результате будет существенно меньше, а рост капитала будет проходить медленнее.

Расчет фракции производится на основе заданного процента просадки, которую трейдер психологически может себе позволить. Если, например, приемлемой считается просадка в 25%, берём максимальный исторический дродаун системы и, исходя из него, рассчитываем процент риска в каждой сделке, например 5%. Как правило, это значение существенно меньше оптимальной фракции.

Метод безопасной фракции позволяет определиться с приоритетами и решить, что важнее– большая прибыль ценой большего риска и просадок или наоборот, относительно безопасная торговля за счёт потери части прибыли.

Теперь пример, который в своей книге приводил Ральф Винс, и формулы.

Допустим, мы подкидываем идеальную монетку, с вероятностью выигрыша и проигрыша 50 на 50. Предположим, что в случае выигрыша мы получаем 2 доллара, а в случае проигрыша теряем 1 доллар. Математическое ожидание тогда такой игры будет (0.5*2)+(0.5*(-1)) = 0.5. Т.е. имеем положительное ожидание, 50 центов за бросок.

Проведем серию из 40 сделок и представим результат в виде графика, где по оси абсцисс будет значение оптимального f, а по оси ординат — показатель TWR. (рисунок выше).

TWR –это показатель, характеризующий относительный конечный капитал, или, проще говоря, то, во сколько раз мы увеличили наш изначальный депозит.

При отклонении оптимального f всего на незначительные величины резко меняет значение TWR, что отражается на кратном изменении потенциальной прибыли.

Расчет оптимального F: Для расчета оптимального f необходимо сначала вычислить прибыль за определенный период — HPR . которая рассчитывается по формуле: HPR=1+f*(-сделка/наибольший проигрыш) . где:

Далее рассчитывается TWR, как произведение всех HPR.

Ну, и в итоге, мы вычисляем среднее геометрическое HPR (G), которое рассчитывается как корень в степени N от TWR:G=TWR^(1/N) ,

где N — общее количество сделок.

Далее остается максимизировать значения TWR и G, путём перебора f от 0 до 1 с шагом 0.01. Оптимальное F — это такое f, при котором значение TWR или G, максимально.

Управление капиталом на форекс, формула Келли

Для повышения рациональности управления капиталом на форекс можно использовать формулу Келли. Какой именно суммой рисковать в каждой сделке - большой вопрос во всех системах управления капиталом. Слишком маленький объем позиции редко когда способен обеспечить нормальный прирост депозита. При слишком большом риске возрастает вероятность того, что просадка выбросит Вас из бизнеса. Между слишком маленьким и слишком большим риском лежит область, в которой капитал будет расти с максимальным потенциалом.

Изначально формула Келли была выведена еще в 1956 году для решения проблемы случайного вмешательства на телефонных линиях. Келли обнаружил метод увеличения потока данных при сокращении случайных потерь информации.

Для вычисления оптимального процента риска Вам потребуются следующие данные вашей торговой системы. доля выигрышных сделок (W %), средний размер выигрыша (W) и средний размер проигрыша (L).

Основная формула Келли может быть рассчитана, как:

Оптимальный процент риска = W% – [(1-W%)/(W/L)]

Вот пример. Предположим, Вы имеете систему, которая дает 60% выигрышей, значит, доля выигрышных сделок равна 0.6. Ваша система также показывает средний профит на сделку 8, а средний лосс - 4. Таким образом, W % = 0.6, W = 8 и L = 4.

Тогда:

Оптимальный процент риска = 0.6 – [(1 – 0.6)/(8/4]

= 0.6 – [0.4/2]

=6 – 0.2

Таким образом, процент активов, который обеспечил бы максимальную отдачу - 40 %.

Главная проблема формулы Келли - просадка. Если Ваша система права в 60 % случаев, Вы можете когда-нибудь при достаточно продолжительном трейдинге получить убыток 10 или даже 15 раз подряд. Риск слишком высоким процентом приведет к катастрофе. Формула Келли подразумевает (это прописано в John Kelly original report - A New Interpretation of Information Rate) что, если ваш дродаун достигает 25 %, никогда не рискуйте более, чем 25 % от своего счета.

Формула Келли чрезвычайно важна для трейдеров, желающих добиться оптимальной отдачи. Для практического применения формулы используйте 80 % от % Келли. В вышеупомянутом примере мы получили оптимальный размер риска 40 % от капитала. Это слишком много для практического использования. Вместо этого мы использовали бы 80 % от 25 %, что равно 20 %. Определите, сколько мы сможете проводить одновременно и разделите величину 80 %-Келли на это число сделок. Например, если Вы открывать одновременно до 8 позиций, оптимальный размер сделки, используя вышеупомянутый пример, был бы (20 %/8) равен приблизительно 2.5 % от депозита.

Оптимальное f

Ральф Винс в своей книге «Porifolio Management Formulas: Mathematical Trading Methods for Futures, Options, and Stock Markets» (издательство John Wiley, 1989) приводит формулу вычисления оптимального размера сделки для заданного возможного диапазона доходности и соответствующих значений вероятностей. В этой книге я сделал все, чтобы избежать большого количества формул мне не хотелось бы нарушать этот принцип и теперь, и поэтому точное математическое выражение я из своего анализа исключу. Достаточно сказать, что Винс устанавливает f_опт (оптимальный размер сделки) как функцию от отношения заданной предполагаемой доходности сделки к ее вероятному наихудшему результату.

Вряд ли стоит оспаривать, что понятие оптимального f, которое привносит в управление размером сделки полезный элемент математической точности, является ценным достижением в науке управления портфелем. Однако, как указывает сам Винс, этот метод имеет очень много недостатков. В первую очередь в нем предполагается, что мы знаем о распределении доходов наших сделок больше, чем является уделом простых смертных. В частности, для того чтобы вычислить оптимальное f, необходимо ввести в формулу фактические данные о доходности а к этому моменту вы уже должны понимать, что если вы на самом деле располагаете этими данными, то нет особого смысла морочить себе голову такими вещами, как управление рисками. Вместо этого я рекомендую просто ввести эту информацию в свою программу по расчету f_опт. и пусть она себе считает свою оптимизацию.

С другой стороны, Винс признал этот парадокс, и кратко говорит об этом в следующих нескольких фразах своей более поздней книги, «The Mathematics of Money Management» (издательство John Wiley, 1992): «Иными словами, неважно, насколько прибыльна ваша торговая система на уровне одного контракта – при условии, что она прибыльна хотя бы минимально. Если у вас есть система, которая зарабатывает $10 на контракт за сделку. вы можете использовать управление капиталом, чтобы сделать ее гораздо более прибыльной, чем систему, которая показывает среднюю сделку на $1000. Таким образом, важно не то, насколько прибыльна была ваша система, а то, насколько точно то, что эта система покажет как минимум незначительную прибыль в будущем. Следовательно, самое главное, что может сделать трейдер, – это с максимально возможной надежностью обеспечить, чтобы в будущем у него было положительное математическое ожидание».

Я абсолютно согласен с этими замечаниями, которые, на самом деле, непосредственно приводят нас ко второй основной проблеме, связанной с безусловной ориентацией на оптимальное f как на единственное средство управления размером подверженности рискам. Разумеется, тут мы снова спотыкаемся о тот всегдашний камень преткновения, который лежит на нашем пути к нирване в управлении портфелем, – а именно, о нашу общую неспособность предсказывать будущее. Любого, кто действительно располагает достаточно точными оценками распределения будущей доходности сделок, оптимальное f на самом деле приведет к максимизации доходности. Это одна из причин того, почему наиболее изящными примерами применения оптимального f являются «идеальные» условия принятия риска – как те, скажем, что имеют место при подбрасывании монетки или при покупке лотерейных билетов. Однако в нашем несовершенном мире трейдинга средняя доходность отдельной сделки очень трудно поддается точной оценке. Конечно, наиболее разумным источником информации для составления прогноза будущей доходности, наверное, являются исторические данные, и если вы хотите вычислять оптимальное f, то я бы советовал начинать именно с них.

Другой очевидной проблемой оптимального f является то, что этот расчет подразумевает взгляд на мир с точки зрения единичной сделки и исследует только вопрос о том, каков должен быть соответствующий размер отдельных позиций, чтобы достичь цели максимальной прибыльности на уровне сделки. Но тогда возникает следующая проблема: а что если, даже при условии, что я правильно оценил диапазон доходности на уровне транзакции, я попаду в полосу неудач и достигну или приближусь к самому худшему сценарию развития событий по другим сделкам, которые осуществляю в это же самое время? Это, как заметит внимательный читатель, очень напоминает понятие просадки капитала: если не отнестись к ней внимательно, то просадка может истощить ваш рисковый капитал еще до того, как механизм расчета оптимального f прольет на вас золотой дождь своих преимуществ. Как признает сам Винс, если строго следовать методу оптимального f и применять его без учета того, что возможность возникновения череды следующих друг за другом убытков (а на самом деле даже убытков, просто происходящих в непосредственной близости друг от друга) может истощить даже самый большой рисковый капитал, то размер просадки, которую может испытать в этом случае портфель, является практически неограниченным.

Источники: forexsystems.ru, smart-lab.ru, sweetrading.ru, whatisbirga.com